Thèmes développés

Les rapports entre les savoirs mathématiques et les savoirs professionnels comme contraintes des systèmes didactiques professionnels (Annie Bessot, Madeleine Eberhard, Sylvain Déprez)
Le processus de conception de systèmes mécaniques et son enseignement. La transposition didactique comme outil d'une analyse épistémologique (Guy Prudhomme, Annie Bessot et Daniel Brissaud (Laboratoire 3S))
L'algèbre linéaire, aspects épistémologiques et didactiques (Jean-Luc Dorier)
L'Enseignement de Mathématiques pour des Étudiants de Sciences Économiques (Jean-Luc Dorier)
Étude des contraintes du système didactique et théorisation des pratiques des enseignants de mathématiques (Claude Comiti)
Analyse de dispositifs de formation des enseignants de disciplines scientifiques (Claude Comiti)
Etude didactique et épistémologique sur l'enseignement du vecteur dans deux institutions : la classe de dixième au Viêt-nam et la classe de seconde en France (Lê Thi Hoai Châu, Claude Comiti et Jean-Luc Dorier)
Enseignement et apprentissage de la notion d'aire de surfaces planes : une étude de l'acquisition des relations entre les longueurs et les aires au collège (Paula Moreira Baltar Bellemain, Claude Comiti)
Etude des problèmes d'enseignement des grandeurs géométriques - longueur, aire, volume et angle, ainsi que les notions de périmètre et capacité - au collège. (Paula Moreira Baltar Bellemain)
Enseignement des mathématiques en Europe (Ghislaine Chartier)
Pratiques du professeur du double point de vue écologique et économique. Le cas de l'enseignement des systèmes linéaires et de la mise en équations (Lalina Coulange, Annie Bessot, Jean-Luc Dorier),
Etude du sort de problèmes de construction dans le contexte français de l'enseignement des transformations géométriques, au lycée, dans les années 90. (Neri Terezinha Both Carvalho , Madeleine Eberhard)
Etude didactique de l'enseignement de la géométrie dans l'espace dans ses relations avec la géométrie plane au lycée en France et au Viêt-nam (Doan Huu Hai, Jean-Luc Dorier, Hamid Chaachoua (Equipe EIAH, Laboratoire Leibniz))
Etude didactique des liens entre fonctions et équations dans l'enseignement des mathématiques au lycée en France et au Viêt-nam (Lê Van Tien, Annie Bessot)
Etude didactique à propos des concepts de physique enseignés au lycée avec la notion mathématique de vecteur (Maria Ramos, Jean-Luc Dorier)
Articulation entre la calculatrice et l'approximation décimale dans les calculs numériques de l'enseignement mathématique secondaire. Le cas des calculs trigonométriques. (Alain Birebent, Annie Bessot)
Rôle de la géométrie (représentation, langage, intuition) dans l'enseignement et l'apprentissage de l'algèbre linéaire. (Ghislaine Chartier, Jean-Luc Dorier).

Les rapports entre les savoirs mathématiques et les savoirs professionnels comme contraintes des systèmes didactiques professionnels - Annie Bessot, Madeleine Eberhard, Sylvain Déprez

Notre hypothèse est que les difficultés rencontrées par les élèves et les enseignants en classe de mathématiques, dans les lycées professionnels ou techniques, proviennent, pour une part, de la non-prise en charge par les mathématiciens du rapport entre savoirs mathématiques et savoirs utiles pour des disciplines non mathématiques et pour la professionnalisation. C'est prendre le parti de ne pas attribuer complètement ces difficultés au recrutement des élèves par " l'échec scolaire ". Des tentatives d'organisation de savoirs mathématiques spécifiques aux professions peuvent être analysées comme des réponses à la " contrainte de double légitimité ", culturelle (relations aux pratiques) et épistémologique (relation aux mathématiques), que doit assumer tout enseignement mathématiques dans une institution professionnelle : l'existence de manuels intitulés " Mathématiques pratiques ", maintenant obsolètes, l'atteste. Un indice de la difficulté à faire exister des savoirs mathématiques qui se légitiment culturellement par leurs relations aux pratiques, est l'alternance de leur apparition ou leur disparition comme discipline enseignée. Par exemple en France, la géométrie descriptive de Monge (qui n'est plus enseigné) a tenté une unification mathématique de procédés pratiques de construction ; dans son traité de " Leçons de géométrie " (1901) Hadamard avait inclus un chapitre (" notion sur la topographie ") dont certains éléments ont été transposés dans des manuels de géométrie pratique qui n'ont plus cours. Actuellement, dans les programmes de mathématiques de l'ensemble des filières professionnelles et technologiques, la " contrainte de double légitimité " se traduit par la juxtaposition de déclarations explicites sur le caractère instrumental des savoirs mathématiques présents et de justifications de choix de contenus peu éloignées de celles des programmes des filières générales. En fait, l'analyse des contenus de ces programmes montre qu'ils résultent de troncatures des programmes de mathématiques de l'enseignement général.
Par ailleurs, le besoin en mathématiques exprimé par des enseignants non mathématiciens renvoie principalement à une collection de savoirs mathématiques identifiables à des savoirs de base du collège, y compris pour la filière technologique : ce besoin exprimé semble davantage correspondre à un " bagage " minimum nécessaire au déroulement convenable de leur enseignement plutôt qu'à des savoirs opératoires pour la pratique future de leurs élèves.
Nos questions de recherches s'organisent autour de trois pôles (depuis les savoirs et pratiques de référence jusqu'au système d'enseignement).
1 &endash; Un premier pôle est relatif à la nature, la visibilité et la nécessité de connaissances mathématiques utiles à la pratique des chefs de chantier ou des ouvriers qualifiés dans les métiers du bâtiment.
2 &endash; Le deuxième pôle a trait aux savoirs mathématiques présents dans des enseignements non mathématiques. A quelles situations professionnelles sont-ils référés? Comment sont-ils transformés par leur co-existence avec d'autres savoirs ? Comment interviennent-ils dans la gestion de la classe par l'enseignant non mathématicien ?
3 &endash; Le dernier pôle concerne la classe de mathématiques dans les lycées professionnels et techniques : l'enseignant de mathématiques prend&endash;il en charge le projet professionnel de ses élèves ? Comment se manifeste la " contrainte de double légitimité " dans les interactions &endash; relatives au savoir en jeu &endash; entre enseignant et élèves ? Un rapport spécifique aux savoirs mathématiques est-il mis en place ?

Le processus de conception de systèmes mécaniques et son enseignement. La transposition didactique comme outil d'une analyse épistémologique - Guy Prudhomme, Annie Bessot et Daniel Brissaud (Laboratoire 3S)

Dans un marché compétitif, le processus de conception de systèmes mécaniques prend une place de plus en plus importante pour produire dans le meilleur délai, au plus près des besoins et au moindre coût. Notre travail a comme objectif de comprendre ce processus et de faire des propositions pour son enseignement. Il montre qu'au cours d'un projet de conception, si l'organisation des activités de conception s'appuie initialement sur celle proposée par la méthode de référence, le processus effectif va se définir dans l'action, en s'adaptant aux singularités de la situation.
Ce travail est le fruit d'un regard pluridisciplinaire, faisant interagir les concepts de conception mécanique avec ceux de didactique. Il s'appuie sur les observations de deux situations de formation: l'une dans une institution d'enseignement, l'autre dans une institution de formation en entreprise. Nous mettons en évidence que les méthodologies qui font référence sont celles proposées par les normes (Analyse Fonctionnelle ou Analyse de la Valeur). Mais nous montrons également que les pratiques effectives de conception sont fonction de la capacité des concepteurs à mobiliser d'autres savoirs, de différentes natures, qui vont être considérés simultanément avec ceux de la méthode. Ils sont les conditions écologiques nécessaires pour que les concepteurs instrumentent les savoirs de la méthode pour concevoir. Le processus est alors bâti autour d'une conversation réflexive entre la situation qui pose problème, le problème tel qu'il est posé par les concepteurs et les solutions technologiques envisagées comme possibles.
L'analyse de ces observations nous conduit à interroger les situations d'enseignement à construire pour que les étudiants apprennent sur le processus effectif de conception des systèmes mécaniques dans un environnement donné. Nous proposons d'instituer la pratique réflexive pour repérer les connaissances mises en usage et nourrir le répertoire personnel de connaissances des concepteurs.
Mots clés : Processus de conception, Conception simultanée, Enseignement, Transposition didactique, Epistémologie, Pratique réflexive, Systèmes mécaniques

L'algèbre linéaire, aspects épistémologiques et didactiques - Jean-Luc Dorier

Cette recherche, conduite dans le cadre du G.D.R. "didactique" depuis 1989, s'intéresse aux questions relatives à l'enseignement de l'algèbre linéaire en première année d'université scientifique. L'enseignement de la théorie des espaces vectoriels dont chacun reconnaît l'importance pour des étudiants scientifiques est également ressenti comme particulièrement problématique, par les étudiants comme par les enseignants. Cette recherche se fonde avant tout sur une étude détaillée de l'histoire et de l'épistémologie de la théorie des espaces vectoriels. Certains points de cette analyse ont été plus particulièrement développés, notamment : le concept de rang dans l'étude des systèmes d'équations linéaires, les concepts de base et de dimension, l'Ausdehnungslehre de Grassmann. Une analyse approfondie de ces questions a été regroupée dans une perspective élargie. A la lumière de ce travail nous examinons, sur un plan assez large, la question des liens entre l'épistémologie et la didactique. C'est autour de ce thème que j'ai rédigé ma note de synthèse pour le diplôme d'habilitation.
L'analyse historique laisse ressortir que la théorie moderne des espaces vectoriels dont les prémisses ne datent que de la fin du 19e n'a vraiment percé qu'à partir des années 1920-1930. Si elle a permis d'aborder des questions nouvelles d'analyse fonctionnelle où les espaces sont de dimension infinie, son succès tient tout autant à son pouvoir unificateur et généralisateur. Ainsi la plupart des problèmes qui se résolvent maintenant à l'aide de la théorie des espaces vectoriels l'ont d'abord été à l'aide d'outils moins formels et plus ad hoc. C'est bien entendu vrai pour la dimension finie, mais aussi pour la dimension infinie, qui a donné lieu entre 1880 et 1920 à un élargissement de la théorie des déterminants, qui est à la source de l'analyse fonctionnelle. L'étude épistémologique des concepts d'algèbre linéaire doit donc prendre en compte des processus de généralisation. Dans ce sens, les rôles respectifs joués par des domaines tels que la géométrie et les équations numériques sont fort distincts. A travers essentiellement l'utilisation des déterminants (à partir de 1750), l'étude des équations numériques a permis l'élaboration d'une première théorisation du linéaire, d'où est en particulier sorti, non sans mal, le concept de rang. A la fin du 19e, celle-ci permettait de résoudre une multitude de problèmes. Mais elle est toujours restée avant tout un outil pratique, plus qu'un objet théorique. De plus l'extrême technicité de certains calculs a parfois masqué des résultat fondamentaux (cf. la genèse du concept de rang). La géométrie a, quant à elle, joué un rôle complexe. Le parallélogramme des forces, connu depuis l'antiquité, est quasiment anecdotique, car il y a loin de cette illustration de la résultante de deux forces au concept d'addition algébrique de deux entités géométriques. En fait, à travers l'histoire de l'algèbre linéaire, c'est tout l'historique des échanges dialectiques entre algèbre et géométrie, spécialement au cours du 19e, qui est en jeu : les premiers calculs vectoriels (Möbius, Bellavitis), la représentation géométrique des complexes, les quaternions (Hamilton), et le calcul d'extension de Grassmann.
Sur le plan plus didactique, nos travaux sont organisés autour d'une expérimentation à l'Université de Lille, menée par Marc Rogalski. Il s'agit de l'élaboration d'une ingénierie longue portant sur un enseignement d'une soixantaine d'heures. Les questions didactiques liées à la spécificité d'un projet long ont été examinées en détail et de façon générale dans cette recherche (problèmes de maturation dans l'apprentissage, de retour en arrière, et de connexion et articulation de moments distincts de l'enseignement, etc.). Par ailleurs, comme nous l'avons souligné plus haut, l'analyse épistémologique fait ressortir que les concepts d'algèbre linéaire sont avant tout unificateurs et généralisateurs, ils servent à unifier diverses branches des mathématiques et à donner des méthodes générales de résolution, plutôt qu'à résoudre de nouveaux problèmes. De cette spécificité épistémologique découlent des contraintes didactiques nouvelles qui ont conduit à l'utilisation dans l'enseignement de l'algèbre linéaire du levier "méta", c'est-à-dire l'explicitation d'un questionnement des étudiants sur l'intérêt de l'utilisation de la théorie des espaces vectoriels. L'ingénierie mise en place est actuellement assez stable et a pu être expérimentée pendant plusieurs années successives, ce qui a permis de dégager des régularités. Les questions actuellement les plus vives portent sur la méthodologie de l'analyse, en particulier au regard des spécificités liées au projet long et de l'utilisation du levier "méta".
Ces travaux sont l'objets de collaborations avec des équipes ou des chercheurs étrangers à Montréal (Université Concordia), aux USA (Purdue University), au Brésil (PUC de São Paulo) et au Maroc (Université de Fès).
Autres participants : A. Robert, J. Robinet, M. Rogalski (Équipe DIDIREM, Paris VII).  

L'Enseignement de Mathématiques pour des Étudiants de Sciences Économiques - Jean-Luc Dorier.

L'enseignement de mathématiques dans les filières de Sciences Économiques présente des particularités liées tant au public à qui il est destiné qu'à l'institution dans laquelle il a lieu. Le travail mené dans ce cadre tend à dégager ces spécificités et à mettre en place des séquences d'enseignement qui leur sont adaptées. La question principale se pose en terme de changement de rapport aux mathématiques des étudiants qui arrivent en première année de DEUG de Sciences Économiques. Le but étant de leur donner les moyens de réfléchir à leurs besoins en mathématique par rapport aux sciences économiques, c'est la question de la modélisation mathématique qui se trouvent au centre de nos préoccupations. Nous avons mis au point une séquence d'introduction permettant de soulever des questions fondamentales quant à la modélisation et à l'utilisation de mathématiques sur une situation qui ne présente a priori aucun élément de mathématiques. Le but est de faire réfléchir les étudiants sur l'intérêt d'utiliser leurs connaissances de mathématiques (élémentaires) pour résoudre un problème qui sort du cadre scolaire habituel et dans un deuxième temps de pouvoir mettre en place un modèle mathématique dans lequel ces connaissances vont être efficaces. Notre recherche s'oriente à présent vers l'analyse des retombées d'une telle séquence et sa coordination avec le reste de l'enseignement au cours de l'année. Nous disposons d'un corpus de situations d'enseignement permettant d'appliquer des outils mathématiques à des problèmes économiques et nous cherchons à les englober dans une approche unifiée autour de questions centrales liées à la modélisation et à l'utilisation des mathématiques dans des cadres économiques.
Dans le cadre de cet axe de nos travaux, nous avons à plusieurs reprises participé à des groupes de travail sur le thème des mathématiques comme discipline de service, dans des rencontres internationales. Il en ressort en particulier des spécificités assez nettes des mathématiques pour les sciences sociales, et particulièrement pour l'économie ou la gestion, par rapport aux mathématiques pour ingénieurs. Néanmoins une part des problématiques est commune.
Autres participants : A.Bessot, L.Coulange et A.Birebent (Laboratoire Leibniz)

Etude des contraintes du système didactique et théorisation des pratiques des enseignants de mathématiques - Claude Comiti.

Il s'agit de modéliser les interactions entre enseignant et élèves relatives au savoir en jeu, dans une situation à finalité d'enseignement, en prenant en compte les conditions dans lesquelles sont placés l'enseignant et l'élève pour pouvoir réaliser l'enjeu d'une relation d'enseignement/apprentissage, dont notamment une contrainte temporelle (la durée d'apprentissage est déterminée par l'institution) et une contrainte épistémologique (la connaissance acquise doit être " conforme " à un savoir de référence).
Cette modélisation a pour objet de donner du sens à certains événements survenant en situation de classe ainsi qu'aux décisions du professeur liées à ces événements. Les événements et décisions auxquelles nous nous intéressons sont ceux qui sont déterminés par les caractères spécifiques du savoir en jeu et de son usage dans la classe.
Nous étudions notamment les décisions de l'enseignant qui sont déterminées par les caractères spécifiques des savoirs visés et leur usage par les élèves, ainsi que le rôle des différents assujettissements dans la prise de décision.
La première étape de cette recherche nous a conduite à caractériser certains phénomènes typiques de l'activité didactique révélateurs des dysfonctionnements de la situation, (et notamment celui que nous avons appelé " dédoublement de situation "). Dans une deuxième étape, il s'est agi d'interpréter les régulations assurées sur le contenu mathématique en jeu, lors de tels dérèglements. Nous avons analysé le système de régulation qui permet d'assurer le maintien de l'équilibre nécessaire à l'action didactique. Ceci nous a conduite à repérer la signification des passages d'un type de contrat à un autre et à confirmer notamment l'intérêt et la pertinence d'une modélisation des décisions locales de l'enseignant en terme de contrats didactiques locaux (Brousseau 96).
Nos terrains d'analyse sont multiples : étude de l'introduction de la racine carrée en classe de troisième au collège en France (en collaboration avec Denise Grenier, équipe CNAM), mais aussi étude de l'enseignement des mathématiques en français dans des classes bilingues de la ville de Vientiane, au Laos. 

Analyse de dispositifs de formation des enseignants de disciplines scientifiques - Claude Comiti.

Ce thème de recherche est lié à à l'émergence d'une conception plus professionnelle qu'auparavant du métier d'enseignant avec la création des Instituts Universitaires de Formation des Maîtres au début des années 90. Dans le cadre d'une formation qui se préoccupe davantage aujourd'hui de comprendre, de décrire et de préparer l'activité réelle des élèves et des professeurs, une formation en didactique apparaît intéressante à un double titre : par les connaissances qu'elle apporte sur les conditions didactiques de l'enseignement des mathématiques et par l'analyse des moyens d'analyse et de compréhension de phénomènes qu'elle propose. Parallèlement, l'intégration d'une dimension didactique dans la formation des enseignants et la mise en place de nouveaux dispositifs de formation sont sources de questions pour la recherche en didactique des disciplines. C'est dans ce double mouvement que se sont développés, à Grenoble, les travaux du Groupement d'Intérêt Scientifique " Recherches en didactiques des disciplines et en sciences de l'éducation " dont j'étais co-responsable avec Louise Dabène (Laboratoire LIDILEM, université Stendhal). Il s'agissait notamment d'étudier les conditions d'intégration et d'utilisation de concepts et de méthodologies issues des recherches en didactique des disciplines en formation des enseignants et dans les pratiques professionnelles.
Notre travail dans ce contexte a permis d'éclairer les différentes étapes de l'appropriation des concepts de didactique par les professeurs - stagiaires en analysant l'utilisation qu'ils en font dans leurs mémoires professionnels. Nous avons notamment pu mettre en évidence quatre étapes dans l'appropriation du concept de contrat didactique. La première intitulée par nous " simple référence ", souvent de l'ordre de l'emprunt d'un signifiant théorique dans un énoncé de type constatif, dénote un début de familiarisation permettant au professeur-stagiaire de rattacher une connaissance partielle et parfois déformée à des phénomènes déjà connus de lui. La seconde, dite de " développement ", consistant en l'étude des règles du contrat pour une notion mathématique à un niveau d'enseignement donné, ressemble à un travail pratique qui permettrait au professeur-stagiaire de porter un regard nouveau sur certains problèmes d'enseignement et d'apprentissage, à propos d'un objet de savoir au programme de sa classe en responsabilité. Les deux dernières étapes, de " mobilisation " du concept et de " disponibilité à des fins professionnelles ", correspondent à un autre type de relation au concept en jeu : le professeur-stagiaire montre qu'il est capable de le faire fonctionner de manière constructive, évalue les raisons qui le conduisent à utiliser son cadre d'interprétation plutôt qu'un autre et explicite, le plus souvent, les connaissances nouvelles que sa mise en fonctionnement lui a permis d'acquérir sur sa propre pratique.
Un résultat non moins important de notre travail porte sur l'importance des allers et retours entre théorie et pratique dans l'appropriation progressive de concepts de didactique : ce sont essentiellement les mises en relation entre le travail théorique et la mise en oeuvre personnelle du concept en jeu pour la construction et l'analyse de situations professionnelles qui sont productrices de connaissances nouvelles pour le professeur-stagiaire, connaissances qui participent à son appropriation du concept en jeu.

Etude didactique et épistémologique sur l'enseignement du vecteur dans deux institutions : la classe de dixième au Viêt-nam et la classe de seconde en France - Lê Thi Hoai Châu, Claude Comiti et Jean-Luc Dorier. 

Le but de l'enseignement des vecteurs est de faire passer les élèves de la géométrie euclidienne du plan et de l'espace à une géométrie vectorielle où ces mêmes plan et espace sont modélisés en terme d'espaces affines associés aux espaces vectoriels de deux et trois dimensions. Dans la mesure où la théorie générale des espaces vectoriels n'est pas à la portée des lycéens, ce n'est pas le modèle axiomatique des espaces affines qui est proposé mais un intermédiaire, l'ensemble des vecteurs géométriques du plan et de l'espace. Cet ensemble a une structure d'espace vectoriel si l'on travaille sur des classes d'équivalence convenables, mais cette structure n'est pas donnée axiomatiquement : un vecteur est donc défini d'abord par ses caractéristiques géométriques de norme, de direction et de sens, avec tous les problèmes liés à la définition même de ces termes.
Afin de déterminer dans quelle mesure les difficultés rencontrées par les élèves vietnamiens étaient spécifiques de l'institution vietnamienne ou d'origine épistémologique, nous nous sommes demandés si l'on rencontrait les mêmes difficultés en France où les vecteurs sont introduits dans l'enseignement secondaire depuis les années 1940 et où l'évolution des programmes montre des différences significatives avec les choix faits au Viêt-nam.
Notre démarche consiste en un double point de vue épistémologique et didactique qui repose sur les hypothèses de travail suivantes :
- Une analyse comparative des conditions de l'enseignement et de l'apprentissage des vecteurs, en première année de lycée (élèves de 15 à 16 ans) au Viêt-nam et en France, permettra de mettre en évidence des régularités et des disparités d'une part dans les contraintes de l'enseignement, d'autre part dans les difficultés d'apprentissage des élèves.
- Une bonne connaissance des caractéristiques de la genèse historique permettra une interprétation plus fine et épistémologiquement mieux fondée des difficultés récurrentes des élèves rencontrées simultanément dans les deux pays.
Nos résultats confirment l'existence, pour les élèves, de deux niveaux de difficulté : difficulté à sortir du modèle euclidien et à considérer des objets géométriques non seulement sous un aspect mesure, mais aussi sous un aspect "orientation" ; difficulté à concevoir correctement les relations entre les diverses directions dans le plan ou dans l'espace et à prendre en compte les deux caractéristiques d'orientation du vecteur : direction et sens. Elle met en évidence également des origines d'ordre épistémologique à ces difficultés, tout en montrant comment les choix d'enseignement effectués peuvent contribuer à leur dépassement, ou au contraire, à leur renforcement.
Mots clés : Géométrie vectorielle, vecteur géométrique, sens, direction, point de vue didactique, point de vue épistémologique, point de vue institutionnel, institution, enseignement, programmes, enseignants, élèves, difficultés, obstacle.

Enseignement et apprentissage de la notion d'aire de surfaces planes : une étude de l'acquisition des relations entre les longueurs et les aires au collège - Paula Moreira Baltar Bellemain, Claude Comiti. 

Cette recherche porte sur la construction du concept d'aire chez les élèves de collège et plus particulièrement sur l'acquisition des relations entre les longueurs et les aires, leur coordination lors de la mise en place des formules d'aire et leur différentiation dans les problèmes d'aire et de périmètre.
Des études préalables présentant les fondements de la recherche du point de vue mathématique, de celui de l'enseignement actuel en France et des travaux antérieurs sur le thème permettent de placer la problématique dans le contexte plus large des recherches en didactique.
L'étude de situations problème autour du concept d'aire de surfaces planes, développée dans le cadre de la théorie des champs conceptuels, puis la construction d'une classification des situations, avec mise en évidence des procédures de traitement possibles, ainsi que l'élaboration d'un répertoire de théorèmes en acte, apportent de nouveaux éléments d'analyse des difficultés conceptuelles rencontrées dans l'apprentissage du concept d'aire au collège.
Nous présentons ensuite une ingénierie didactique réalisée en classe de cinquième, dont les résultats confirment la pertinence de l'approche de l'aire en tant que grandeur, adoptée dans le travail. Cette approche favorise en particulier la mise en cause des formules fausses et l'acquisition des formules de l'aire des surfaces usuelles. La prise en compte des situations dans lesquelles le point de vue dynamique intervient, construites dans l'environnement Cabri-géomètre, favorise de plus la mise en cause du théorème en acte selon lequel l'aire et le périmètre d'un parallélogramme varient forcément dans le même sens ainsi qu'un début d'utilisation, par les élèves, de la formule d'aire d'un parallélogramme avec une lecture liée au domaine des fonctions - usage plus élaboré que celui d'un moyen de calcul.
Mots clés : Aire, périmètre, grandeur, formule, invariants géométriques, point de vue statique, point de vue dynamique, acquisition des connaissances, théorie des champs conceptuels, théorème-en-acte, ingénierie didactique, Cabri-géomètre. 

Etude des problèmes d'enseignement des grandeurs géométriques - longueur, aire, volume et angle, ainsi que les notions de périmètre et capacité - au collège - Paula Moreira Baltar Bellemain. 

Cette recherche porte sur les problèmes d'enseignement des grandeurs géométriques et de leurs mesures au collège. Elle donne suite à notre propre travail de thèse (Baltar, 1996) et à l'étude développée, en coopération avec Annie Bessot et Claude Comiti (DDM, LEIBNIZ, Grenoble) et Paulo Figueiredo Lima (LEMAT, UFPE, Recife).dans le contexte d'un projet CAPES-COFECUB de coopération scientifique en Didactique des Mathématiques, entre la France et le Brésil.
Les grandeurs géométriques et leurs mesures ont une place importante dans les pratiques sociales et professionnelles et sont un objet de recherche actuelle au Brésil, de ce point de vue. De plus, elles concernent différents cadres mathématiques (le géométrique, le numérique, le fonctionnel, etc.), traversent tous les niveaux de scolarité, à travers des statuts divers et des reprises qu'il est important d'analyser et de transmettre dans les cursus de formation initiale et continue des enseignants.
Nos objets de recherche, autour de ce domaine mathématique, vont alors dans trois directions qui s'articulent entre elles:
- l'étude diagnostique et comparative de problèmes d'enseignement et d'apprentissage ;
- l'élaboration et expérimentation de dispositifs de formation d'enseignants, et
- l'analyse des conditions d'enseignement, d'apprentissage ainsi que des processus cognitifs sous-jacents.
Étude comparative du concept d'aire et des difficultés d'apprentissage relatives à ce concept à l'école élémentaire, au collège et en formation d'enseignants
Nous cherchons à analyser les difficultés rencontrées dans la pratique de l'enseignement de la notion d'aire du côté des professeurs et du côté des élèves, et leur prise en compte par les formations initiales et continues. Il s'agit d'étudier notamment à Grenoble et à Recife :
- l'importance accordée aux grandeurs et à leurs mesures dans la formation des enseignants de mathématiques ;
- les différents choix de transposition didactique, analysés à travers la place de ce domaine dans les programmes et les manuels ;
- les pratiques de classe au collège lors de l'enseignement du concept d'aire ainsi que le fonctionnement de connaissances des élèves.
Cela nous conduit à analyser aussi le contexte institutionnel de la formation initiale et continue des enseignants de mathématiques, surtout le contexte brésilien qui passe en ce moment par des changements très importants. Dans ce travail, seront étudiés toutes les grandeurs géométriques mentionnées ci-dessus, mais le concept d'aire sera plus approfondi, avec un accent particulier sur la notion de formule d'aire. Nous nous intéressons notamment aux différents usages qui peuvent être faits des formules (moyen de calcul, manipulation d'écritures littérales et lecture fonctionnelle, par exemple) et ceux qui sont effectivement travaillés à l'école élémentaire et au collège, en France et au Brésil.
Elaboration de dispositifs de formation d'enseignants dans le domaine des grandeurs géométriques et de leurs mesures
Nous cherchons ici à construire et expérimenter des dispositifs de formation initiale et continue des enseignants de mathématique du collège, en prenant pour point de départ des analyses diagnostiques des problèmes d'enseignement des grandeurs géométriques et leurs mesures. L'analyse de deux études sur les représentations des enseignants brésiliens (Maia, 1998 & Campos, 1998) a montré que les concepts d'aire et de périmètre ne sont pas considérés parmi ceux qui sont sources de difficultés conceptuelles importantes. Ceci est contradictoire avec les résultats des nombreuses recherches conduites en France et dans le monde anglo-saxon, sur l'apprentissage de ces concepts , qui montrent la variété, l'importance et la résistance des difficultés conceptuelles.
Notre travail nous a conduit à formuler quelques interprétations (non exclusives) des raisons qui peuvent a priori amener les enseignants brésiliens à considérer que l'apprentissage des concepts d'aire et de périmètre ne présente pas de difficulté particulière. La vérification de la pertinence de chacune de ces interprétations nous a conduit à mener nos analyses dans trois directions : celle du fonctionnement des connaissances des élèves, celle de la transposition didactique, celle des représentations et des connaissances (mathématiques et didactiques) des enseignants de collège.
Le choix des stratégies de formation (Houdement et Kuzniak,1996) utilisés dans les dispositifs mis en place seront justifiés par rapport aux analyses menées pour vérifier la pertinence de chacune des interprétations ci-dessus.
Analyse des conditions d'enseignement et apprentissage des grandeurs géométriques et de leurs mesures au collège et des processus cognitifs sous-jacents
L'étude des conditions d'enseignement et apprentissage des grandeurs géométriques sera basée sur la construction, expérimentation et analyse d'ingénieries didactiques au collège, au Brésil. Pour cela, les analyses préalables ainsi que les résultats de l'ingénierie didactique développée dans le contexte de notre travail de thèse seront enrichies par l'approfondissement de l'analyse a priori et par les résultats de l'analyse des connaissances des élèves de collège brésiliens, menée dans les études précédentes.
En parallèle avec cette étude, nous cherchons aussi à approfondir l'analyse des processus cognitifs sous-jacents à l'enseignement et apprentissage des grandeurs géométriques et de leurs mesures, dans le cadre de la théorie des champs conceptuels et à caractériser les différentes conceptions possibles (Balacheff - Equipe Did@Tic) d'aire, avec mise en évidence des champs de problèmes propres à chaque conception, des opérateurs associés, des systèmes de représentation et des structures de contrôle.
Nous cherchons ici à étudier le fonctionnement des concepts non seulement dans le contexte scolaire mais aussi dans les pratiques sociales et professionnelles. Certaines conceptions d'aire, par exemple, sont erronées du point de vue du savoir mathématique savant et en même temps paraissent tout à fait adaptées et pertinentes dans des contextes professionnels. Nous savons que l'école brésilienne a un nombre important d'enfants qui travaillent (particulièrement dans la zone rurale) et cherche aujourd'hui à prendre en compte les connaissances acquises par ces enfants en dehors de l'école. Ceci nous amène à défendre l'importance, du point de vue de la construction de situations d'apprentissage à l'école élémentaire et au collège, de mettre en évidence les apports, les limites, les domaines de validité, les filiations et les ruptures entre ces différentes conceptions. 

Enseignement des mathématiques en Europe - Ghislaine Gueudet-Chartier. 

Cette étude, qui s'effectue au sein du groupe de recherche-formation : " Mathématiques en Europe " de l'IREM de Rennes s'intéresse à la comparaison de différents aspects de l'enseignement des mathématiques en Angleterre, en Allemagne et en France. Des échanges d'activités ont été effectués au niveau du collège, en géométrie, qui ont permis de mettre à jour d'importantes différences dans les résolutions proposées par les élèves des trois pays pour un même exercice de géométrie. Au lycée, nous avons étudié plus particulièrement l'enseignement de la dérivation : manière d'introduire cette notion, usage qui en est fait par la suite…
Quelques éléments concernant notre travail peuvent être trouvés sur le site de l'Irem de Rennes : http://www.maths.univ-rennes1.fr/irem, à la rubrique : la vie des groupes en direct.

Pratiques du professeur du double point de vue écologique et économique. Le cas de l'enseignement des systèmes linéaires et de la mise en équations - Lalina Coulange, Annie Bessot, Jean-Luc Dorier. 

Dans le cadre de notre travail de thèse, notre objectif premier est d'étudier les pratiques enseignantes dans l'enseignement des mathématiques au Collège et au Lycée.
Nous nous intéressons plus précisément à l'enseignement des deux objets spécifiques "systèmes d'équations" et "mise en équations" en Troisième et en Seconde pour les raisons suivantes :
- ce sont des enjeux d'enseignement relativement importants dans les deux classes considérées (qui représentent un moment de transition "fin de collège - début de lycée" dans le système éducatif) et dans de nombreuses autres institutions par la suite (au niveau du supérieur).
- ce sont des objets de nature différente : l'objet "système d'équations" peut être vu comme de nature mathématique et l'objet mise en équations comme une notion paramathématique. On peut donc faire l'hypothèse que leur enseignement relèvent de pratiques différentes de la part de l'enseignant.
Suivant l'approche anthropologique qui met en avant une "dialectique des personnes et des institutions", nous considérons que le professeur est soumis aux contraintes résultant d'assujettissements à différentes institutions (qui pèsent sur tout système didactique). Il reste à l'enseignant un espace de liberté à gérer dans le cadre de ces contraintes. Pour étudier ces contraintes et "libertés" que nous dirons "externes", il nous est apparu judicieux de nous placer dans une problématique de type écologique et de faire une analyse de manuels et de programmes du début du XXème à 1999 pour trouver des éléments de réponses aux questions suivantes : Quelles sont les contraintes propres aux rapports institutionnels actuels aux objets "Systèmes d'équations" et "Mise en équation" en classe de Troisième ? Qu'ont-elles été à d'autres époques d'enseignement ? Quelles ont été leur évolution d'une période à l'autre ? Quelles "libertés possibles" cela représente-t-il pour l'enseignant par rapport au système de contraintes actuelles ?
Au sein de l'espace de liberté "externe" laissé à l'enseignant, les régulations de la relation didactique soumettent à leur tour le professeur à de nouvelles contraintes que nous dirons "internes". Suivant une approche de type économique, nous étudions ces contraintes "internes" du point de vue des concepts de milieu des contrats didactiques. Nous avons recueilli des données de plusieurs types : réponses d'enseignants de Troisième et de Seconde à des questionnaires, entretiens, observations "naturalistes" dans une classe de Troisième au moment de l'introduction officielle des systèmes d'équations, expérimentation en classe de Seconde... À partir de l'analyse du corpus ainsi constitué, nous cherchons à apporter des éléments de réponse aux questions suivantes : Peut-on définir certains choix et décisions d'enseignants de Troisième au moment de l'introduction officielle des systèmes d'équations ? Quelles sont les connaissances didactiques et mathématiques qui sous-tendent ces choix et décisions ? Quel contrat didactique spécifique à la mise en équations semble être mis en place en Troisième ? Quels éléments pérennes de ce contrat didactique semblent conditionner les attentes des enseignants et les comportements d'élèves de Seconde ?
 

Etude du sort de problèmes de construction dans le contexte français de l'enseignement des transformations géométriques, au lycée, dans les années 90 - Neri Terezinha Both Carvalho , Madeleine Eberhard. 

L'étude des figures dans l'enseignement de la géométrie élémentaire s'est traditionnellement organisée autour de questions que l'on peut sommairement classer en problèmes de démonstration, problèmes de lieux et problèmes de construction. Au niveau du lycée, l'une des fonctions des problèmes de construction était de mettre en jeu et en relief le raisonnement dit par analyse-synthèse.
Depuis les réformes des années 80, les programmes ont fait une part importante aux transformations, tant au collège qu'au lycée, l'accent étant expressément mis au lycée sur leur fonctionnement dans la résolution de problèmes. On peu alors s'interroger sur la place et le rôle, possibles et réels, des problèmes de construction, au lycée, dans le contexte d'un enseignement de transformations géométriques qui vise la mise en place du point de vue "transformations ponctuelles" et l'exploration de l'aspect "relation entre figures".
Cette question est à relier à notre hypothèse générale que la présentation des transformations comme outil d'étude des figures constitue une condition pour la vie des problèmes de construction et qu'en retour, les problèmes de construction sont des conditions pour l'étude des propriétés des transformations.
Les questions de construction sont présentes tout au long du collège. la mise en oeuvre de transformations conduit à la délimitation d'un champ de problèmes qu'elles sont susceptibles de résoudre. Dans l'enseignement au lycée, l'étude de problèmes de ce champ passe-t'elle par l'installation d'un rapport à ces questions incluant l'explication de nouveaux raisonnements ?
Cette étude est menée à partir de la classe de Seconde des années 90, prise comme observatoire. Si la condition "classe de détermination" pèse sur chacun des modes possibles de familiarisation au fonctionnement outil des transformations pour certains types de problèmes, nous faisons l'hypothèse qu'à rebours, cette condition couplée à la condition "classe de transition" permet une ouverture des choix possibles. C'est ce que nous testons dans une étude de manuels.
Les conditions réelles de l'enseignement sont appréhendées au travers d'études de cas : questionnaires et entretien avec des professeurs, étude d'une situation didactique expérimentale.
 

Etude didactique de l'enseignement de la géométrie dans l'espace dans ses relations avec la géométrie plane au lycée en France et au Viêt-nam - Doan Huu Hai, Jean-Luc Dorier, Hamid Chaachoua (Equipe Did@tic, Laboratoire Leibniz).

Un premier objectif de la thèse est de mener une étude comparative entre deux systèmes d'enseignement (niveau lycée), viêtnamiens et français, pour caractériser :
- d'une part des spécificités et des ressemblances dans les formes et les organisations des savoirs mathématiques concernés (géométrie plane et dans l'espace) ;
- d'autre part des conditions sociales (et historiques) du fonctionnement de ces formes et organisations.
Un deuxième objectif, en relation avec le précédent, est d'analyser les rapports aux savoirs mathématiques (géométrie plane et dans l'espace) des différents acteurs (enseignants et élèves) dans les systèmes didactiques étudiés (Viêt-nam et France), ceci afin de
- cerner les contraintes qui pèsent sur les enseignants et conditionnent les décisions qu'ils doivent prendre en situation d'introduction de la géométrie dans l'espace ;
- caractériser les difficultés des élèves à élargir et remettre en question leurs connaissances et leurs pratiques de la géométrie plane à l'espace ;
- déterminer des types de situations didactiques existantes dans lesquelles les relations entre géométrie plane et dans l'espace "vivent" ;
- donner des conditions d'optimisation, de contrôle et de reproduction de situations prototypiques de mise en place de rapports spécifiques aux deux types de géométrie (" ingénierie didactique ").
Thèse soutenue (09/01)

Etude didactique des liens entre fonctions et équations dans l'enseignement des mathématiques au lycée en France et au Viêt-nam - Lê Van Tien, Annie Bessot.

La notion de fonction est centrale en mathématiques et son importance se retrouve dans la place qui lui est accordée dans l'enseignement au lycée. L'enseignement de l'analyse se fonde sur deux piliers étroitement solidaires : le système des nombres et le système des fonctions. Dans cette optique, il paraît intéressant d'analyser les difficultés de la transposition didactique de la notion de fonction en terme de manques dans les solidarités de ces deux piliers (qu'il reste à identifier). On peut aussi s'interroger sur ce qui est réellement abordé du concept de fonction dans le secondaire à travers les pratiques habituelles des élèves et des enseignants dans le cadre des programmes.
Or le concept d'équation permet d'établir des relations entre fonctions et nombres d'un certain point de vue, qu'il s'agit de préciser. Peu de travaux de didactique des mathématiques se sont intéressé à l'enseignement et à l'apprentissage des équations dans leurs relations au concept de fonction.
De plus, dans l'enseignement actuel, si la notion de fonction ne peut vivre sans la notion d'équation, la notion d'équation peut être présente en l'absence de la notion de fonction, comme par exemple au collège en France. L'introduction, en tant que nouvel objet, de la notion de fonction au début du lycée en France, change nécessairement le rapport institutionnel aux équations. Au Viêt-nam, la notion de fonction est introduite au même moment que celle d'équation. Cela suggère des rapports institutionnels aux équations, différents dans les deux pays.
Quelles sont les conséquences de tels choix curriculaires sur la formation en mathématiques des élèves dans le domaine de l'analyse au sortir du lycée ? Comment, quand et pourquoi se sont mis en place ces organisations dans l'un et l'autre système d'enseignement ? Quels sont les difficultés spécifiques corrélatives à chacun des systèmes d'enseignement français et vietnamiens ?
Thèse soutenue (09/01)

Etude didactique à propos des concepts de physique enseignés au lycée avec la notion mathématique de vecteur - Jean-Luc Dorier. 

L'interaction entre vecteur en mathématiques et grandeur vectorielle physique est faite dans l'étude en mécanique lorsque le mot vecteur apparaît implicitement dans l'étude du mouvement de translation d'un solide et apparaît dans l'étude de la vitesse et de la force dans un amalgame entre grandeur vectorielle et vecteur représentant de la grandeur vectorielle. Le mot vecteur est absent de la définition de mouvement de translation car il est défini par la notion de segment.
Ainsi il sera intéressant d'apporter des éléments nouveaux de réflexion sur les liens entre mouvement de translation et translation et vecteur mathématiques.
La force et la vitesse sont définies comme ayant les trois caractéristiques du vecteur géométrique (norme, direction, sens) et une origine (un point d'application).
Nous nous proposons aussi d'investiguer les conditions dans lesquelles l'outil vectoriel est mobilisable (Robert, 1998), dans un contexte physique (équilibre de forces).
Ces types de situations nous paraissent intéressants à travailler pour permettre une meilleure synergie entre mathématiques et physique qui devrait profiter aux deux disciplines.
De cette façon, notre recherche s'inscrit dans le cadre général de la recherche en didactiques des mathématiques voire de la physique.
 

Articulation entre la calculatrice et l'approximation décimale dans les calculs numériques de l'enseignement mathématique secondaire. Le cas des calculs trigonométriques - Alain Birebent, Annie Bessot.

Parmi les problèmes didactiques que ne cesse de poser la calculatrice à l'enseignement mathématique secondaire (en collège et en lycée) depuis son introduction officielle aux débuts des années 80, nous analysons ceux qui ressortent des relations qu'elle entretient avec l'approximation décimale au cours de calculs numériques.
Ces relations se développent à partir des différents savoirs mathématiques en jeu dans l'enseignement du Calcul numérique et qui touchent tant à l'organisation des calculs qu'à utilisation ou à l'interprétation des résultats dans différents cadres (géométrique, numérique, analytique, etc.). En dégageant des conditions écologiques de la vie ces savoirs dans l'enseignement actuel et en suivant leur évolution dans l'institution, nous cher-chons à qualifier la nature de la cohabitation actuelle entre la calculatrice et l'approxima-tion décimale : peut-il s'agir d'une articulation, au sens d'un ensemble d'interactions guidées par des contrôles sur les résultats décimaux à partir de savoirs sur les erreurs et la propagation de ces erreurs dans les calculs ? et dans quelle mesure, cette articulation, si elle existe, s'ins-crit-elle dans l'enseignement de l'Analyse du lycée ?
La présence de la calculatrice (et l'éviction des tables numériques) autorise (et élimine) des techniques et des pratiques qui façonnent les rapports au Calcul numérique des élèves et des professeurs. En décrivant les composantes instrumentales de ces rapports et en étudiant leurs genèses individuelles et collectives dans l'activité mathématique de la classe et de chacun des acteurs, nous cherchons à les insérer dans une économie didactique du Calcul numérique instrumenté : à quelles conditions cette éco-nomie peut-elle favoriser l'articulation entre la calculatrice et l'approximation décimale et son intégration dans l'enseignement actuel de l'Analyse ?
Nous avons choisi les calculs trigonométriques qui nous permettent de cibler autour d'enjeux didactiques institutionnels forts, à la fois l'objet mathématique "approximation numérique décimale" et l'objet technique "calculatrice", et d'analyser leur cohabitation dans des calculs numériques. De la classe de quatrième à celle de première S, ils activent de nombreux calculs numériques où la calculatrice est systématiquement appelée.
La partie expérimentale de notre recherche comporte une série d'exercices proposée à des enseignants de seconde sous la forme d'un devoir surveillé et une ingénierie composée de trois séances de modules en première S. Cette ingénierie porte sur le "problème du fabricant de tables" et son principal enjeu didactique est la numérisation décimale de la fonction "cosinus degré" sur l'intervalle [0 ; 90].
Thèse soutenue

Rôle de la géométrie (représentation, langage, intuition) dans l'enseignement et l'apprentissage de l'algèbre linéaire - Ghislaine Chartier, Jean-Luc Dorier. 

Notre objectif est d'analyser en quoi la géométrie peut être utile pour l'enseignement et l'apprentissage de l'algèbre linéaire. Une première difficulté consiste à préciser le sens du terme " géométrie ", qui peut aussi bien désigner la géométrie élémentaire, fondée sur les axiomes d'Euclide, qu'une théorie reposant elle-même sur l'algèbre linéaire. D'autre part l'expression " intuition géométrique ", qui est fréquemment employée par les enseignants lorsqu'on leur pose la question de l'usage de la géométrie en algèbre linéaire, admet elle aussi des interprétations très variées.
C'est le travail de Fischbein au sujet de l'intuition en sciences, et en particulier en mathématiques, qui nous permet d'entreprendre une analyse plus précise de ce peut être l'intuition géométrique en algèbre linéaire. Selon Fischbein, l'intuition fournit des représentations qui permettent au raisonnement d'être productif en offrant à celui-ci des bases ayant l'apparence de certitudes. Un important facteur d'intuition est l'emploi de modèles. Fischbein en distingue plusieurs types : modèle analogique (indépendant de l'original), modèle paradigmatique (un exemple, choisi comme le plus représentatif d'une classe) ; modèle intramathématique ou extramathématique (l'emploi de dessins se rattache en particulier à ce dernier type de modèles).
Cette théorie peut être employée pour une analyse cognitive, mais aussi pour une approche épistémologique. Nous l'utilisons ainsi pour étudier le rôle de la géométrie dans la genèse et l'évolution de l'algèbre linéaire ; on peut observer dans des œuvres de Leibniz, Grassmann, Riesz ou Schmidt différents types d'emplois de modèles issus de la géométrie.
Après cette analyse historique, nous étudions comment l'algèbre linéaire a été insérée dans les programmes de lycée, en association avec la rénovation de l'enseignement de la géométrie. L'algèbre linéaire a totalement disparu de l'enseignement secondaire en 1986 ; il reste cependant dans les programmes du secondaire des notions, rencontrées dans le cours de géométrie, et que les étudiants retrouveront dans les cours d'algèbre linéaire, bilinéaire, et même d'analyse fonctionnelle (par exemple : base, projection). Nous avons étudié la vie et l'évolution de ces notions tout au long du cursus scolaire : y a-t-il des propriétés, vues dès le secondaire, et qui restent pertinentes au-delà ? Quelles sont les propriétés entièrement nouvelles, et quels problèmes peuvent-ils être posés par le fait que ces notions ont déjà été rencontrées auparavant ? Quelles sont les praxéologies associées, dans le secondaire et dans le supérieur (tâches semblables, tâches nouvelles ; évolution des techniques et des technologies ....)
Cette étude nous a guidés pour l'élaboration de deux questionnaires, l'un destiné à des enseignants-chercheurs et l'autre à des étudiants de CAPES ou de maîtrise. Nous avons encore recours à la théorie de Fischbein pour analyser, en termes d'emplois de modèles géométriques, les réponses à ces questionnaires. Nous observons ainsi des décalages entre les modèles que les enseignants supposent à l'œuvre chez les étudiants et ceux que ces derniers semblent utiliser de manière effective. Les étudiants qui sont confrontés au cours de leurs études à des usages très différents de la géométrie par les enseignants d'algèbre linéaire peuvent notamment construire spontanément des modèles inadaptés, dans lesquels interviennent aussi des connaissances de géométrie de l'enseignement secondaire.
Nous poursuivons actuellement l'étude de ces questions, pour tenter notamment de préciser comment les enseignants pourraient contribuer à l'élaboration par les étudiants de modèles géométriques adaptés à la pratique de l'algèbre linéaire.

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