Equipe DDM : Thèmes de recherche

Les axes de recherche
Dans le découpage par axes qui suit, nous n’avons fait apparaître en général chacun des travaux de membres de l’équipe qu’une seule fois à propos de l’axe qui le caractérise le mieux, mais il est clair que la plupart sont à la croisée de plusieurs axes.

Algèbre linéaire et vecteurs
	L'algèbre linéaire, aspects épistémologiques et didactiques (Jean-Luc Dorier, Ghislaine Chartier)
	Rôle de la géométrie (représentation, langage, intuition) dans l'enseignement et l'apprentissage de l'algèbre linéaire (Ghislaine Chartier, Jean-Luc Dorier).
Pertinence et utilité des savoirs mathématiques dans différentes institutions
	Les rapports entre les savoirs mathématiques et les savoirs professionnels comme contraintes des systèmes didactiques professionnels (Annie Bessot, Madeleine Eberhard, Sylvain Deprez).
	L'Enseignement de Mathématiques pour les Sciences Economiques (Alain Birebent, Jean-Luc Dorier)
	Le processus de conception de systèmes mécaniques et son enseignement. La transposition didactique comme outil d'une analyse épistémologique (Guy Prudhomme, Annie Bessot et Daniel Brissaud du Laboratoire 3S)
Conditions d'apprentissage et processus cognitifs sous-jacents
	Articulation entre la calculatrice et l'approximation décimale dans les calculs numériques de l'enseignement mathématique secondaire. Le cas des calculs trigonométriques (Alain Birebent, Annie Bessot).
Analyse des pratiques enseignantes
	Etude des contraintes du système didactique et théorisation des pratiques des enseignants de mathématiques (Claude Comiti).
	Pratiques du professeur du double point de vue écologique et économique. Le cas de l'enseignement des systèmes linéaires et de la mise en équations (Lalina Coulange, Annie Bessot, Jean-Luc Dorier).
-	Pratiques du professeur : le cas de l’enseignement de l’arithmétique en terminale S de spécialité (Laetitia Ravel, Jean-luc Dorier).
-	Etude des pratiques des professeurs sur l’enseignement de l’algèbre à travers des concepts d’égalité et d’équivalence (Mustafa Akinci, Jean-Luc Dorier, Claire Margolinas).
-	Conditions écologiques pour la modalité " outil " des transformations géométriques et pratiques des professeurs de mathématiques au lycée : le cas des problèmes de construction (Neri Terezinha Both Carvalho, Madeleine Eberhard).

L'algèbre linéaire, aspects épistémologiques et didactiques - (Jean-Luc Dorier, Ghislaine Chartier)

Cette recherche, conduite dans le cadre du G.D.R. "didactique" depuis 1989, s'intéresse aux questions relatives à l'enseignement de l'algèbre linéaire en première année d'université scientifique. L'enseignement de la théorie des espaces vectoriels dont chacun reconnaît l'importance pour des étudiants scientifiques est également ressenti comme particulièrement problématique, par les étudiants comme par les enseignants. Cette recherche se fonde avant tout sur une étude détaillée de l'histoire et de l'épistémologie de la théorie des espaces vectoriels. Certains points de cette analyse ont été plus particulièrement développés, notamment : le concept de rang dans l'étude des systèmes d'équations linéaires, les concepts de base et de dimension, l'Ausdehnungslehre de Grassmann. Une analyse approfondie de ces questions a été regroupée dans une perspective élargie. A la lumière de ce travail nous examinons, sur un plan assez large, la question des liens entre l'épistémologie et la didactique. C'est autour de ce thème que j'ai rédigé ma note de synthèse pour le diplôme d'habilitation.
L'analyse historique laisse ressortir que la théorie moderne des espaces vectoriels dont les prémisses ne datent que de la fin du 19e n'a vraiment percé qu'à partir des années 1920-1930. Si elle a permis d'aborder des questions nouvelles d'analyse fonctionnelle où les espaces sont de dimension infinie, son succès tient tout autant à son pouvoir unificateur et généralisateur. Ainsi la plupart des problèmes qui se résolvent maintenant à l'aide de la théorie des espaces vectoriels l'ont d'abord été à l'aide d'outils moins formels et plus ad hoc. C'est bien entendu vrai pour la dimension finie, mais aussi pour la dimension infinie, qui a donné lieu entre 1880 et 1920 à un élargissement de la théorie des déterminants, qui est à la source de l'analyse fonctionnelle. L'étude épistémologique des concepts d'algèbre linéaire doit donc prendre en compte des processus de généralisation. Dans ce sens, les rôles respectifs joués par des domaines tels que la géométrie et les équations numériques sont fort distincts. A travers essentiellement l'utilisation des déterminants (à partir de 1750), l'étude des équations numériques a permis l'élaboration d'une première théorisation du linéaire, d'où est en particulier sorti, non sans mal, le concept de rang. A la fin du 19e, celle-ci permettait de résoudre une multitude de problèmes. Mais elle est toujours restée avant tout un outil pratique, plus qu'un objet théorique. De plus l'extrême technicité de certains calculs a parfois masqué des résultat fondamentaux (cf. la genèse du concept de rang). La géométrie a, quant à elle, joué un rôle complexe. Le parallélogramme des forces, connu depuis l'antiquité, est quasiment anecdotique, car il y a loin de cette illustration de la résultante de deux forces au concept d'addition algébrique de deux entités géométriques. En fait, à travers l'histoire de l'algèbre linéaire, c'est tout l'historique des échanges dialectiques entre algèbre et géométrie, spécialement au cours du 19e, qui est en jeu : les premiers calculs vectoriels (Möbius, Bellavitis), la représentation géométrique des complexes, les quaternions (Hamilton), et le calcul d'extension de Grassmann.
Sur le plan plus didactique, nos travaux sont organisés autour d'une expérimentation à l'Université de Lille, menée par Marc Rogalski. Il s'agit de l'élaboration d'une ingénierie longue portant sur un enseignement d'une soixantaine d'heures. Les questions didactiques liées à la spécificité d'un projet long ont été examinées en détail et de façon générale dans cette recherche (problèmes de maturation dans l'apprentissage, de retour en arrière, et de connexion et articulation de moments distincts de l'enseignement, etc.). Par ailleurs, comme nous l'avons souligné plus haut, l'analyse épistémologique fait ressortir que les concepts d'algèbre linéaire sont avant tout unificateurs et généralisateurs, ils servent à unifier diverses branches des mathématiques et à donner des méthodes générales de résolution, plutôt qu'à résoudre de nouveaux problèmes. De cette spécificité épistémologique découlent des contraintes didactiques nouvelles qui ont conduit à l'utilisation dans l'enseignement de l'algèbre linéaire du levier "méta", c'est-à-dire l'explicitation d'un questionnement des étudiants sur l'intérêt de l'utilisation de la théorie des espaces vectoriels. L'ingénierie mise en place est actuellement assez stable et a pu être expérimentée pendant plusieurs années successives, ce qui a permis de dégager des régularités. Les questions actuellement les plus vives portent sur la méthodologie de l'analyse, en particulier au regard des spécificités liées au projet long et de l'utilisation du levier "méta".
Ces travaux sont l'objets de collaborations avec des équipes ou des chercheurs étrangers à Montréal (Université Concordia), aux USA (Purdue University), au Brésil (PUC de São Paulo) et au Maroc (Université de Fès).
Autres participants : A. Robert, J. Robinet, M. Rogalski (Équipe DIDIREM, Paris VII).

Rôle de la géométrie (représentation, langage, intuition) dans l'enseignement et l'apprentissage de l'algèbre linéaire - Ghislaine Chartier, Jean-Luc Dorier.
Notre objectif est d'analyser en quoi la géométrie peut être utile pour l'enseignement et l'apprentissage de l'algèbre linéaire. Une première difficulté consiste à préciser le sens du terme " géométrie ", qui peut aussi bien désigner la géométrie élémentaire, fondée sur les axiomes d'Euclide, qu'une théorie reposant elle-même sur l'algèbre linéaire. D'autre part l'expression " intuition géométrique ", qui est fréquemment employée par les enseignants lorsqu'on leur pose la question de l'usage de la géométrie en algèbre linéaire, admet elle aussi des interprétations très variées.
C'est le travail de Fischbein au sujet de l'intuition en sciences, et en particulier en mathématiques, qui nous permet d'entreprendre une analyse plus précise de ce peut être l'intuition géométrique en algèbre linéaire. Selon Fischbein, l'intuition fournit des représentations qui permettent au raisonnement d'être productif en offrant à celui-ci des bases ayant l'apparence de certitudes. Un important facteur d'intuition est l'emploi de modèles. Fischbein en distingue plusieurs types : modèle analogique (indépendant de l'original), modèle paradigmatique (un exemple, choisi comme le plus représentatif d'une classe) ; modèle intramathématique ou extramathématique (l'emploi de dessins se rattache en particulier à ce dernier type de modèles).
Cette théorie peut être employée pour une analyse cognitive, mais aussi pour une approche épistémologique. Nous l'utilisons ainsi pour étudier le rôle de la géométrie dans la genèse et l'évolution de l'algèbre linéaire ; on peut observer dans des œuvres de Leibniz, Grassmann, Riesz ou Schmidt différents types d'emplois de modèles issus de la géométrie.
Après cette analyse historique, nous étudions comment l'algèbre linéaire a été insérée dans les programmes de lycée, en association avec la rénovation de l'enseignement de la géométrie. L'algèbre linéaire a totalement disparu de l'enseignement secondaire en 1986 ; il reste cependant dans les programmes du secondaire des notions, rencontrées dans le cours de géométrie, et que les étudiants retrouveront dans les cours d'algèbre linéaire, bilinéaire, et même d'analyse fonctionnelle (par exemple : base, projection). Nous avons étudié la vie et l'évolution de ces notions tout au long du cursus scolaire : y a-t-il des propriétés, vues dès le secondaire, et qui restent pertinentes au-delà ? Quelles sont les propriétés entièrement nouvelles, et quels problèmes peuvent-ils être posés par le fait que ces notions ont déjà été rencontrées auparavant ? Quelles sont les praxéologies associées, dans le secondaire et dans le supérieur (tâches semblables, tâches nouvelles ; évolution des techniques et des technologies ....)
Cette étude nous a guidés pour l'élaboration de deux questionnaires, l'un destiné à des enseignants-chercheurs et l'autre à des étudiants de CAPES ou de maîtrise. Nous avons encore recours à la théorie de Fischbein pour analyser, en termes d'emplois de modèles géométriques, les réponses à ces questionnaires. Nous observons ainsi des décalages entre les modèles que les enseignants supposent à l'œuvre chez les étudiants et ceux que ces derniers semblent utiliser de manière effective. Les étudiants qui sont confrontés au cours de leurs études à des usages très différents de la géométrie par les enseignants d'algèbre linéaire peuvent notamment construire spontanément des modèles inadaptés, dans lesquels interviennent aussi des connaissances de géométrie de l'enseignement secondaire.
Nous poursuivons actuellement l'étude de ces questions, pour tenter notamment de préciser comment les enseignants pourraient contribuer à l'élaboration par les étudiants de modèles géométriques adaptés à la pratique de l'algèbre linéaire.

Les rapports entre les savoirs mathématiques et les savoirs professionnels comme contraintes des systèmes didactiques professionnels (Annie Bessot, Madeleine Eberhard, Sylvain Deprez).

Notre hypothèse est que les difficultés rencontrées par les élèves et les enseignants en classe de mathématiques, dans les lycées professionnels ou techniques, proviennent, pour une part, de la non-prise en charge par les mathématiciens du rapport entre savoirs mathématiques et savoirs utiles pour des disciplines non mathématiques et pour la professionnalisation. C'est prendre le parti de ne pas attribuer complètement ces difficultés au recrutement des élèves par " l'échec scolaire ". Des tentatives d'organisation de savoirs mathématiques spécifiques aux professions peuvent être analysées comme des réponses à la " contrainte de double légitimité ", culturelle (relations aux pratiques) et épistémologique (relation aux mathématiques), que doit assumer tout enseignement mathématiques dans une institution professionnelle : l'existence de manuels intitulés " Mathématiques pratiques ", maintenant obsolètes, l'atteste. Un indice de la difficulté à faire exister des savoirs mathématiques qui se légitiment culturellement par leurs relations aux pratiques, est l'alternance de leur apparition ou leur disparition comme discipline enseignée. Par exemple en France, la géométrie descriptive de Monge (qui n'est plus enseigné) a tenté une unification mathématique de procédés pratiques de construction ; dans son traité de " Leçons de géométrie " (1901) Hadamard avait inclus un chapitre (" notion sur la topographie ") dont certains éléments ont été transposés dans des manuels de géométrie pratique qui n'ont plus cours. Actuellement, dans les programmes de mathématiques de l'ensemble des filières professionnelles et technologiques, la " contrainte de double légitimité " se traduit par la juxtaposition de déclarations explicites sur le caractère instrumental des savoirs mathématiques présents et de justifications de choix de contenus peu éloignées de celles des programmes des filières générales. En fait, l'analyse des contenus de ces programmes montre qu'ils résultent de troncatures des programmes de mathématiques de l'enseignement général.
Par ailleurs, le besoin en mathématiques exprimé par des enseignants non mathématiciens renvoie principalement à une collection de savoirs mathématiques identifiables à des savoirs de base du collège, y compris pour la filière technologique : ce besoin exprimé semble davantage correspondre à un " bagage " minimum nécessaire au déroulement convenable de leur enseignement plutôt qu'à des savoirs opératoires pour la pratique future de leurs élèves.
Nos questions de recherches s'organisent autour de trois pôles (depuis les savoirs et pratiques de référence jusqu'au système d'enseignement).
1 – Un premier pôle est relatif à la nature, la visibilité et la nécessité de connaissances mathématiques utiles à la pratique des chefs de chantier ou des ouvriers qualifiés dans les métiers du bâtiment.
2 – Le deuxième pôle a trait aux savoirs mathématiques présents dans des enseignements non mathématiques. A quelles situations professionnelles sont-ils référés? Comment sont-ils transformés par leur co-existence avec d'autres savoirs ? Comment interviennent-ils dans la gestion de la classe par l'enseignant non mathématicien ?
3 – Le dernier pôle concerne la classe de mathématiques dans les lycées professionnels et techniques : l'enseignant de mathématiques prend–il en charge le projet professionnel de ses élèves ? Comment se manifeste la " contrainte de double légitimité " dans les interactions – relatives au savoir en jeu – entre enseignant et élèves ? Un rapport spécifique aux savoirs mathématiques est-il mis en place ?

L'Enseignement de Mathématiques pour les Sciences Economiques (Alain Birebent, Jean-Luc Dorier)

L'enseignement de mathématiques dans les filières de Sciences Économiques présente des particularités liées tant au public à qui il est destiné qu'à l'institution dans laquelle il a lieu. Le travail mené dans ce cadre tend à dégager ces spécificités et à mettre en place des séquences d'enseignement qui leur sont adaptées. La question principale se pose en terme de changement de rapport aux mathématiques des étudiants qui arrivent en première année de DEUG de Sciences Économiques. Le but étant de leur donner les moyens de réfléchir à leurs besoins en mathématique par rapport aux sciences économiques, c'est la question de la modélisation mathématique qui se trouvent au centre de nos préoccupations. Nous avons mis au point une séquence d'introduction permettant de soulever des questions fondamentales quant à la modélisation et à l'utilisation de mathématiques sur une situation qui ne présente a priori aucun élément de mathématiques. Le but est de faire réfléchir les étudiants sur l'intérêt d'utiliser leurs connaissances de mathématiques (élémentaires) pour résoudre un problème qui sort du cadre scolaire habituel et dans un deuxième temps de pouvoir mettre en place un modèle mathématique dans lequel ces connaissances vont être efficaces. Notre recherche s'oriente à présent vers l'analyse des retombées d'une telle séquence et sa coordination avec le reste de l'enseignement au cours de l'année. Nous disposons d'un corpus de situations d'enseignement permettant d'appliquer des outils mathématiques à des problèmes économiques et nous cherchons à les englober dans une approche unifiée autour de questions centrales liées à la modélisation et à l'utilisation des mathématiques dans des cadres économiques.
Dans le cadre de cet axe de nos travaux, nous avons à plusieurs reprises participé à des groupes de travail sur le thème des mathématiques comme discipline de service, dans des rencontres internationales. Il en ressort en particulier des spécificités assez nettes des mathématiques pour les sciences sociales, et particulièrement pour l'économie ou la gestion, par rapport aux mathématiques pour ingénieurs. Néanmoins une part des problématiques est commune.
Autres participants : A.Bessot, L.Coulange et A.Birebent (Laboratoire Leibniz)

Le processus de conception de systèmes mécaniques et son enseignement. La transposition didactique comme outil d'une analyse épistémologique - Guy Prudhomme, Annie Bessot et Daniel Brissaud (Laboratoire 3S)

Dans un marché compétitif, le processus de conception de systèmes mécaniques prend une place de plus en plus importante pour produire dans le meilleur délai, au plus près des besoins et au moindre coût. Notre travail a comme objectif de comprendre ce processus et de faire des propositions pour son enseignement. Il montre qu'au cours d'un projet de conception, si l'organisation des activités de conception s'appuie initialement sur celle proposée par la méthode de référence, le processus effectif va se définir dans l'action, en s'adaptant aux singularités de la situation.
Ce travail est le fruit d'un regard pluridisciplinaire, faisant interagir les concepts de conception mécanique avec ceux de didactique. Il s'appuie sur les observations de deux situations de formation: l'une dans une institution d'enseignement, l'autre dans une institution de formation en entreprise. Nous mettons en évidence que les méthodologies qui font référence sont celles proposées par les normes (Analyse Fonctionnelle ou Analyse de la Valeur). Mais nous montrons également que les pratiques effectives de conception sont fonction de la capacité des concepteurs à mobiliser d'autres savoirs, de différentes natures, qui vont être considérés simultanément avec ceux de la méthode. Ils sont les conditions écologiques nécessaires pour que les concepteurs instrumentent les savoirs de la méthode pour concevoir. Le processus est alors bâti autour d'une conversation réflexive entre la situation qui pose problème, le problème tel qu'il est posé par les concepteurs et les solutions technologiques envisagées comme possibles.
L'analyse de ces observations nous conduit à interroger les situations d'enseignement à construire pour que les étudiants apprennent sur le processus effectif de conception des systèmes mécaniques dans un environnement donné. Nous proposons d'instituer la pratique réflexive pour repérer les connaissances mises en usage et nourrir le répertoire personnel de connaissances des concepteurs.
Mots clés : Processus de conception, Conception simultanée, Enseignement, Transposition didactique, Epistémologie, Pratique réflexive, Systèmes mécaniques

Articulation entre la calculatrice et l'approximation décimale dans les calculs numériques de l'enseignement mathématique secondaire. Le cas des calculs trigonométriques (Alain Birebent, Annie Bessot).

Parmi les problèmes didactiques que ne cesse de poser la calculatrice à l'enseignement mathématique secondaire (en collège et en lycée) depuis son introduction officielle aux débuts des années 80, nous analysons ceux qui ressortent des relations qu'elle entretient avec l'approximation décimale au cours de calculs numériques.
Ces relations se développent à partir des différents savoirs mathématiques en jeu dans l'enseignement du Calcul numérique et qui touchent tant à l'organisation des calculs qu'à utilisation ou à l'interprétation des résultats dans différents cadres (géométrique, numérique, analytique, etc.). En dégageant des conditions écologiques de la vie ces savoirs dans l'enseignement actuel et en suivant leur évolution dans l'institution, nous cher-chons à qualifier la nature de la cohabitation actuelle entre la calculatrice et l'approxima-tion décimale : peut-il s'agir d'une articulation, au sens d'un ensemble d'interactions guidées par des contrôles sur les résultats décimaux à partir de savoirs sur les erreurs et la propagation de ces erreurs dans les calculs ? et dans quelle mesure, cette articulation, si elle existe, s'ins-crit-elle dans l'enseignement de l'Analyse du lycée ?
La présence de la calculatrice (et l'éviction des tables numériques) autorise (et élimine) des techniques et des pratiques qui façonnent les rapports au Calcul numérique des élèves et des professeurs. En décrivant les composantes instrumentales de ces rapports et en étudiant leurs genèses individuelles et collectives dans l'activité mathématique de la classe et de chacun des acteurs, nous cherchons à les insérer dans une économie didactique du Calcul numérique instrumenté : à quelles conditions cette éco-nomie peut-elle favoriser l'articulation entre la calculatrice et l'approximation décimale et son intégration dans l'enseignement actuel de l'Analyse ?
Nous avons choisi les calculs trigonométriques qui nous permettent de cibler autour d'enjeux didactiques institutionnels forts, à la fois l'objet mathématique "approximation numérique décimale" et l'objet technique "calculatrice", et d'analyser leur cohabitation dans des calculs numériques. De la classe de quatrième à celle de première S, ils activent de nombreux calculs numériques où la calculatrice est systématiquement appelée.
La partie expérimentale de notre recherche comporte une série d'exercices proposée à des enseignants de seconde sous la forme d'un devoir surveillé et une ingénierie composée de trois séances de modules en première S. Cette ingénierie porte sur le "problème du fabricant de tables" et son principal enjeu didactique est la numérisation décimale de la fonction "cosinus degré" sur l'intervalle [0 ; 90].Thèse soutenue.

Etude des contraintes du système didactique et théorisation des pratiques des enseignants de mathématiques - Claude Comiti.

Il s'agit de modéliser les interactions entre enseignant et élèves relatives au savoir en jeu, dans une situation à finalité d'enseignement, en prenant en compte les conditions dans lesquelles sont placés l'enseignant et l'élève pour pouvoir réaliser l'enjeu d'une relation d'enseignement/apprentissage, dont notamment une contrainte temporelle (la durée d'apprentissage est déterminée par l'institution) et une contrainte épistémologique (la connaissance acquise doit être " conforme " à un savoir de référence).
Cette modélisation a pour objet de donner du sens à certains événements survenant en situation de classe ainsi qu'aux décisions du professeur liées à ces événements. Les événements et décisions auxquelles nous nous intéressons sont ceux qui sont déterminés par les caractères spécifiques du savoir en jeu et de son usage dans la classe.
Nous étudions notamment les décisions de l'enseignant qui sont déterminées par les caractères spécifiques des savoirs visés et leur usage par les élèves, ainsi que le rôle des différents assujettissements dans la prise de décision.
La première étape de cette recherche nous a conduite à caractériser certains phénomènes typiques de l'activité didactique révélateurs des dysfonctionnements de la situation, (et notamment celui que nous avons appelé " dédoublement de situation "). Dans une deuxième étape, il s'est agi d'interpréter les régulations assurées sur le contenu mathématique en jeu, lors de tels dérèglements. Nous avons analysé le système de régulation qui permet d'assurer le maintien de l'équilibre nécessaire à l'action didactique. Ceci nous a conduite à repérer la signification des passages d'un type de contrat à un autre et à confirmer notamment l'intérêt et la pertinence d'une modélisation des décisions locales de l'enseignant en terme de contrats didactiques locaux (Brousseau 96).
Nos terrains d'analyse sont multiples : étude de l'introduction de la racine carrée en classe de troisième au collège en France (en collaboration avec Denise Grenier, équipe CNAM), mais aussi étude de l'enseignement des mathématiques en français dans des classes bilingues de la ville de Vientiane, au Laos.

Pratiques du professeur du double point de vue écologique et économique. Le cas de l'enseignement des systèmes linéaires et de la mise en équations - Lalina Coulange, Annie Bessot, Jean-Luc Dorier.

Dans le cadre de notre travail de thèse, notre objectif premier est d'étudier les pratiques enseignantes dans l'enseignement des mathématiques au Collège et au Lycée.
Nous nous intéressons plus précisément à l'enseignement des deux objets spécifiques "systèmes d'équations" et "mise en équations" en Troisième et en Seconde pour les raisons suivantes :
- ce sont des enjeux d'enseignement relativement importants dans les deux classes considérées (qui représentent un moment de transition "fin de collège - début de lycée" dans le système éducatif) et dans de nombreuses autres institutions par la suite (au niveau du supérieur).
- ce sont des objets de nature différente : l'objet "système d'équations" peut être vu comme de nature mathématique et l'objet mise en équations comme une notion paramathématique. On peut donc faire l'hypothèse que leur enseignement relèvent de pratiques différentes de la part de l'enseignant.
Suivant l'approche anthropologique qui met en avant une "dialectique des personnes et des institutions", nous considérons que le professeur est soumis aux contraintes résultant d'assujettissements à différentes institutions (qui pèsent sur tout système didactique). Il reste à l'enseignant un espace de liberté à gérer dans le cadre de ces contraintes. Pour étudier ces contraintes et "libertés" que nous dirons "externes", il nous est apparu judicieux de nous placer dans une problématique de type écologique et de faire une analyse de manuels et de programmes du début du XXème à 1999 pour trouver des éléments de réponses aux questions suivantes : Quelles sont les contraintes propres aux rapports institutionnels actuels aux objets "Systèmes d'équations" et "Mise en équation" en classe de Troisième ? Qu'ont-elles été à d'autres époques d'enseignement ? Quelles ont été leur évolution d'une période à l'autre ? Quelles "libertés possibles" cela représente-t-il pour l'enseignant par rapport au système de contraintes actuelles ?
Au sein de l'espace de liberté "externe" laissé à l'enseignant, les régulations de la relation didactique soumettent à leur tour le professeur à de nouvelles contraintes que nous dirons "internes". Suivant une approche de type économique, nous étudions ces contraintes "internes" du point de vue des concepts de milieu des contrats didactiques. Nous avons recueilli des données de plusieurs types : réponses d'enseignants de Troisième et de Seconde à des questionnaires, entretiens, observations "naturalistes" dans une classe de Troisième au moment de l'introduction officielle des systèmes d'équations, expérimentation en classe de Seconde... À partir de l'analyse du corpus ainsi constitué, nous cherchons à apporter des éléments de réponse aux questions suivantes : Peut-on définir certains choix et décisions d'enseignants de Troisième au moment de l'introduction officielle des systèmes d'équations ? Quelles sont les connaissances didactiques et mathématiques qui sous-tendent ces choix et décisions ? Quel contrat didactique spécifique à la mise en équations semble être mis en place en Troisième ? Quels éléments pérennes de ce contrat didactique semblent conditionner les attentes des enseignants et les comportements d'élèves de Seconde ?